Klausurvorbereitung

1. Ableitung gebrochen rationaler Funktionen, insbesondere Produkt- und Quotientenregel. Ggf. kann die Funktion vereinfacht (gekürzt) werden, so dass man sich die Quotientenregel dann sparen kann, so wie in den Kurztests geübt. Dass mir wenigstens jeder den Ansatz hinschreiben kann! Also den Zähler als u(x) und den Nenner als v(x) auffassen, u'(x) und v'(x) ausrechnen und dann richtig (u'v - v'u) / v² ansetzen. Wenn man sich danach verrechnet, das kann jedem mal passieren. Aber der Ansatz sollte stimmen, und das kann man leicht üben!
2. Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen: Wann haben sie wo Nullstellen und Polstellen? Was bedeutet es, wenn der Zähler oder Nenner eine Nullstelle hat? (Tipp: Das hat unmittelbar miteinander zu tun). Woran erkennt man Symmetrie? Wie berechnet man den Grenzwert für x → ±∞? (Je nach Grad der Polynome in Zähler und Nenner). Wie findet man Extrema? Wenn f'(x)=0, woher weiß ich dann, ob es sich um ein Maximum, Minimum oder einen Terrassenpunkt handelt?
3. Was bedeuten Differenzenquotient und Differentialquotient (Ableitung) anschaulich?
4. Funktionen und Ableitungen skizzieren mit Hilfe vorher gefundener Nullstellen, Polstellen, Asymptoten, Extrema. Zusammenhang Steigung Funktionsgraph ↔ Wert der Ableitung. Zuordnung von Ableitungsgraph zu gegebenem Funktionsgraph.
5. Bestimmung der Tangentensteigung in einem Punkt P(x₀;f(x₀)). Aufstellen der Tangentengleichung y=mx+t (mit m=f'(x₀) ).
6. Annäherung an eine Nullstelle mit Hilfe des Newtonverfahrens. Die Iterationsformel müsst ihr nicht auswendig wissen, die wird angegeben. (Sie ist auch auf der fürs Abi zugelassenen Merkhilfe drauf). Aber es ist sehr hilfreich, wenn man sich an die Skizze erinnert, wie die Formel hergeleitet wurde. Also was man beim Newtonverfahren eigentlich macht.

1. Bilde die Ableitung der folgenden Funktionen und bestimme dann Lage und Art ihrer Extrema:
   
   1. f(x) = (x²-1)/(5x+5)
   2. g(x) = (x+1)² (x-5)
   3. h(x) = (x²+2)/(2x-1)
2. Gib eine Funktion an mit
   1. je einer Nullstelle bei x₁=3, x₂=-2 und einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei x₃=0
   2. Grad 4 und keiner Nullstelle
   3. einer waagerechten Asymptote y=2 für x → ±∞
3. Hans wirft seinen Computermonitor aus dem Fenster. h(t)=20-9,81t² gibt die Höhe des Monitors (in m) über dem Erdboden in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) an.
   1. Welche Höhe über dem Erdboden hat das Fenster von Hans?
   2. Nach wie vielen Sekunden schlägt der Monitor auf dem Boden auf?
   3. Was ist die durchschnittliche Fallgeschwindigkeit des Monitors? (gesamte Fallhöhe geteilt durch gesamte Fallzeit)
   4. Skizziere h(t) und deute die in c) berechnete Geschwindigkeit graphisch als Differenzenquotient / Sekante am Graphen.
   5. Wie lässt sich die Ableitung h'(t) anschaulich deuten?
   6. Zu welchem Zeitpunkt t* hat der Monitor exakt die in c) berechnete Geschwindigkeit? Berechne t* und zeichne in den Graphen aus d) die Tangente im Punkt (t*;f(t*)) ein.
4. Zuordnung Funktionsgraph ↔ Ableitungsgraph analog zu Aufgaben im Buch: 43/11, 44/14, 46/4, 48/2, 57/15, 67/9, 67/10, 73/8, 73/10, 77/5
5. Tangenten an Funktionen analog zu Aufgaben im Buch: 61/4, 61/7, 62/2, 63/1, 77/4, 79/12
6. Newtonverfahren analog zu Abi-Beispielaufgabe.

• Ableitung: 61/6, 61/9
• Graphen skizzieren: 61/5, 61/8, 62/1